自由電子レーザーの解析 – 2

投稿日: 2016年1月28日 作成者: rh

Maxwell 方程式

真空中に電荷と電流が存在し、分極と磁化がない場合、電磁場を表すMaxwell 方程式は、CGS-Gauss 単位系を用いると次のように書ける。

(1)   \begin{equation*} \nabla \cdot \vec{E} = 4 \pi \rho \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} \nabla \cdot \vec{B} = 0 \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} \nabla \times \vec{E} = - \frac {1}{c} \frac {\partial \vec{B}}{\partial t} \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \nabla \times \vec{B} = \frac {1}{c} \frac {\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac {4 \pi}{c} \vec{J} \end{equation*}

スカラーポテンシャル \phi、ベクトルポテンシャル \vec {A} を用いて\vec{E}と\vec{B}を表す。(J.D. Jackson 6.4 参照)

(5)   \begin{equation*} \vec {E} = - \frac {1}{c} \frac {\partial \vec {A}}{\partial t} - \nabla \phi \end{equation*}

(6)   \begin{equation*} \vec {B} = \nabla \times \vec {A} \end{equation*}

さらに、ローレンツゲージをとると、Maxwell方程式 (1)-(4)は、以下の2つの2階偏微分方程式になる(J.D. Jackson 6.5 参照)。

(7)   \begin{equation*} \left (\nabla ^2 - \frac{1}{c^2} \frac {\partial ^2}{\partial t^2} \right ) \vec {A} = - \frac {4 \pi}{c} \vec {J} \end{equation*}

(8)   \begin{equation*} \left (\nabla ^2 - \frac{1}{c^2} \frac {\partial ^2}{\partial t^2} \right ) \phi = - 4 \pi \rho \end{equation*}

式(7)は、電流（電子ビーム）が作る電磁波を表す波動方程式であり、FELの増幅作用を解析するのに必要な式である。式(8)は、空間電荷による静電波を表す式で、FEL(Compton 領域)の議論では無視できる。

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