John M.J. Madey によるFELの最初の論文（1971）-6

Madeyの定理を説明するために必要なアインシュタインの誘導放出の理論について簡単に復習しておく。

Einstein coefficients

アインシュタインは、黒体輻射のスペクトルを表すPlanckの法則を理論的に説明するために、誘導放出の存在を予言し、さらに、誘導放出、吸収、自然放出の確率は、相互に関係式で結ばれることを示した。

下図は、2準位系（ $E_2-E_1=\hbar\omega$ ）における自然放出、吸収、誘導放出を示したものである。

下準位（ $E=E_1$ ）、上準位（ $E=E_2$ ）ともに縮退はないとすると、上準位から下準位への遷移確率は、自然放出と誘導放出の和として

$p_{21}=A_{21}+B_{21}\rho$

と表される。ここで、 $\rho$ は、周波数 $\omega$ の入射光子の強度である。下準位から上準位への遷移確率（吸収）は、

$p_{12}=B_{12}\rho$

となる。遷移確率を表す係数は、それぞれアインシュタインのA係数、B係数と呼ばれる。

アインシュタインは、Planckの法則から熱平衡を仮定して、3つの係数に以下の関係があることを導いた。

$A_{21}=\frac{8\pi h \nu^3}{c^3} B_{21} = \frac{2 \hbar\omega^3}{\pi c^3} B_{21}$

$B_{12}=B_{21}$