Dicke のSuperradiance -5

いよいよ完全反転分布したN個の2準位原子からなる系からの光放出の時間波形の計算を行う。

下図のようにエネルギー準位のラベルづけを行う。

準位 $M$ から $M-1$ への遷移確率は、前回までに求めた式を $M$ で書き直して

$\displaystyle \gamma_{M,M-1} = \gamma (N/2+M)(N/2-M+1)$

である。

時刻 $t$ に準位 $M$ に系の状態を見出す確率は次の微分方程式に従うことがわかる。

$\displaystyle \frac{d P_M(t)}{dt} = \gamma_{M+1,M}P_{M+1}(t) - \gamma_{M,M-1}P_{M}(t)$

完全反転分布の初期値 $P_{N/2}(0)=1$ , $P_{M}(0)=0 \;\; for \;\; M \ne N/2$ について、この微分方程式を解けば光放出の時間波形を求められる。しかしながら、 $N \gg 1$ に対して計算するのは煩雑である。ここでは別の方法で近似計算を行う。

完全反転分布した状態から $n$ 個の光子を放出する平均時間を $\bar t (n)$ と表すことにする。各準位間の遷移の平均時間を足し合わせれば任意の $n$ について $\bar t (n)$ を計算できて、

$\displaystyle \bar t (n) = \sum_{M=N/2-n+1}^{N/2} \gamma^{-1}_{N,M-1}$
$\displaystyle = \gamma^{-1} \sum_{M=N/2-n+1}^{N/2} \left [(N/2+M)(N/2-M+1) \right ]^{-1}$

$N \gg 1$ の場合、和を積分に置き換えて近似計算ができるので、

$\displaystyle \bar t (n) = \gamma^{-1} \int_{N/2-n}^{N/2} \frac{dM}{(N/2+M)(N/2-M+1)}$
$\displaystyle = \left . \frac{2\gamma^{-1}}{N+1} \tanh^{-1} \frac{2M+1}{N+1} \right |_{M=N/2-n}^{M=N/2}$